Un problema simple de PL

Una empresa pretende optimizar la producción de dos artículos, A y B, que se elaboran con dos recursos limitados X e Y. El programa lineal correspondiente a este problema puede expresarse como sigue:

• Objetivo: maximizar el margen total, expresado como la suma de las contribuciones de los productos A y B, que son respectivamente 2 y 5€. El margen total será por tanto 2 · A + 5 · B
• Restricciones: la producción de cada artículo requiere una unidad de X (disponemos de 100); la producción de A requiere 5 unidades de Y, y la producción de B genera 2 unidades de este recurso (disponemos de 20)
• A y B deben tener utilizaciones no negativas

Max. Z = 2 · A + 5 · B

Sujeto a:  A + B ≤ 100

                 5 · A – 2 · B ≥ 20

                 A ≥ 0

                 B ≥ 0

Conjunto factible

Conjunto de pares de valores (A, B) que verifican simultáneamente las dos restricciones

La zona factible para la primera restricción es el semiplano a la izquierda (en verde); la zona factible para la segunda restricción es el semiplano a la derecha (azul). Ambas están además limitadas al primer cuadrante, dado que las variables de decisión no pueden tomar valores negativos. Las "esquinas" de la zona factible son los puntos extremos, cuyas coordenadas se muestran en el gráfico inferior. Estas son las soluciones potenciales del problema (teorema 1).

Solución óptima

La solución óptima, si existe,está en uno de estos puntos extremos. En un ejemplo simple como este, en el que hemos podido enumerar sin dificultades todas las soluciones potenciales, basta con comprobar el valor de la función objetivo en cada uno de ellos: resulta evidente que la solución es A = 31,43 y B = 68,57, lo que se corresponde con un valor para la función objetivo de 405,71. También podemos identificar la solución trazando la función objetivo; se trataría de hallar el punto en el que dicha función es tangente al conjunto factible, y alcanza el mayor valor.

La solución del programa es la siguiente: