6. El modelo de regresión lineal simple - Coeficiente de determinación. Coeficiente de correlación.

6.8 Coeficiente de determinación. Coeficiente de correlación.

Una vez ajustada la recta de regresión a la nube de observaciones es importante disponer de una medida que mida la bondad del ajuste realizado y que permita decidir si el ajuste lineal es suficiente o se deben buscar modelos alternativos. Como medida de bondad del ajuste se utiliza el coeficiente de determinación, definido como sigue

sum n 2 2 scE i=1 (y^i- y) R = scG--= sum n------2- (yi- y) i=1

(6.15)

o bien

scR n - 2 ^s2 R2 = 1 -----= 1- ----- -R2- scG n - 1 ^sY

Como scE < scG, se verifica que 0 < R² < 1.

El coeficiente de determinación mide la proporción de variabilidad total de la variable dependiente respecto a su media que es explicada por el modelo de regresión. Es usual expresar esta medida en tanto por ciento, multiplicándola por cien.

Por otra parte, teniendo en cuenta que _i - = ₁, se se obtiene

s2 R2 = -2XY2 sX sY

(6.16)

Dadas dos variables aleatorias cualesquiera X e Y , una medida de la relación lineal que hay entre ambas variables es el coeficiente de correlación definido por

Cov(X, Y) r = ----------- s (X) s(Y)

(6.17)

donde

representa la desviación típica de la variable X (análogamente para

). Un buen estimador de este parámetro es el coeficiente de correlación lineal muestral (o coeficiente de correlación de Pearson), definido por

sXY-- V~ -2- r = sX sY = signo(^a1) R .

(6.18)

Por tanto, r

. Este coeficiente es una buena medida de la bondad del ajuste de la recta de regresión. Evidentemente, existe una estrecha relación entre r y

₁ aunque estos estimadores proporcionan diferentes interpretaciones del modelo:

* r es una medida de la relación lineal entre las variables X e Y.

* ₁ mide el cambio producido en la variable Y al realizarse un cambio de una unidad en la variable X.

De las definiciones anteriores se deduce que:

s = 0 <==> ^a = 0 <==> r = 0. XY 1

Es importante estudiar si r es significativo (distinto de cero) ya que ello implica que el modelo de regresión lineal es significativo. Desafortunadamente la distribución de r es complicada pero para tamaños muestrales mayores que 30 su desviación típica es 1/, y puede utilizarse la siguiente regla

2 |r| > V~ n ==> r es significativo (con a = 0'05)

En la interpretación del coeficiente de correlación se debe tener en cuenta que:

· r = ±1 indica una relación lineal exacta positiva (creciente) o negativa (decreciente),

· r = 0 indica la no existencia de relación lineal estocástica, pero no indica independencia de las variables ya que puede existir una relación no lineal incluso exacta,

· valores intermedios de r (0 < r < 1 ó -1 < r < 0) indican la existencia de una relación lineal estocástica, más fuerte cuanto más próximo a +1 (ó -1) sea el valor de r.

Para poder interpretar con mayor facilidad el coeficiente de correlación muestral se exponen varias nubes de observaciones y el ajuste lineal obtenido:

Figura 6.7. Existe una dependencia funcional lineal, las observaciones están sobre la recta de regresión. r = R² = 1, recta de regresión: y = x.

Figura 6.7. Dependencia funcional lineal.

Figura 6.8. La relación lineal entre las variables es muy pequeña y no parece que exista otro tipo de relación entre ellas, la nube de puntos indica que las variables son “casi” independientes.

r = 0^'192, R² = 0^'037, recta de regresión: y = 6^'317 + 0^'086x.

Contraste de regresión: _R = 0^'687 F_1,18 p - valor = 0^'418. Se acepta la no influencia de la variable regresora en Y.

Figura 6.8. Observaciones “casi”independientes.

Figura 6.9. Existe una dependencia funcional entre las observaciones pero no de tipo lineal, por tanto la correlación es muy pequeña

r = 0^'391, R² = 0^'153, recta de regresión: y = 32^'534 - 1^'889x.

Contraste de regresión: _R = 3^'252 F_1,18 p-valor = 0^'088. Se acepta que no existe relación lineal con = 0^'05. En base a la Figura 6.6. se debe de hacer un ajuste del tipo parabólico Y = ₀ + ₁x + ₂x².

Figura 6.9. Existe una relación cuadrática.

Figura 6.10. La nube de datos se ajusta razonablemente a una recta con pendiente positiva.

r = 0^'641, R² = 0^'410, recta de regresión: y = -3^{^'}963 + -1^'749x.

Contraste de regresión: _R = 12^'522 F_1,18 p - valor = 0^'002. Se rechaza la no influencia lineal de la variable x.

Figura 6.10. Relación estocástica lineal.

Figura 6.11. Existe una fuerte dependencia lineal negativa entre las dos variables y la correlación es muy alta (próxima a 1).

r = 0^'924, R² = 0^'846, recta de regresión: y = -2^'528 - 2^'267x

Contraste de regresión: _R = 105^'193 F_1,18 p - valor = 0^'000. Se acepta la existencia de una relación lineal.

Figura 6.11. Fuerte relación estocástica lineal.

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