6. El modelo de regresión lineal simple - El contraste de linealidad

6.7 El contraste de linealidad.

Si para cada valor de la variable explicativa se dispone de varios valores de la variable respuesta (algo normal en los modelos de regresión de diseño fijo) la muestra es de la siguiente forma , que se puede ordenar como en la tabla adjunta


X₁	X₂	...	X_k

Y₁₁	Y₂₁	...	Y_k1
Y₁₂	Y₂₂	...	Y_k2

Y_1n₁	Y_2n₂	...	Y_{kn_k}

El tamaño muestral es n₁ + n₂ + ... + n_k = n, y para cada valor de X = x_i, i = 1,2,...,k se puede calcular la media condicionada muestral de la variable respuesta:

1 sum ni yi.= -- yij, i = 1,2,...k, ni j=1

lo que permite descomponer los residuos de la siguiente forma

eij = (yij- ^yi) = (yij- yi)+ (yi- ^yi), i = 1,2,...k, j = 1,...,ni.

Un razonamiento análogo al realizado anteriormente permite descomponer la variabilidad no explicada como sigue,

k ni k ni scR = sum sum e2 = sum sum (y - y^)2 i=1j=1 ij i=1j=1 ij i sum k sum ni 2 sum k n sum i 2 = (yij- yi.) + (yi.- ^yi) i=1j=1 i=1 j=1 sum k sum ni 2 sum k 2 = (yij- yi.) + ni(yi.- ^yi) . i=1j=1 i=1

Ahora la descomposición de la variabilidad total es la siguiente,

|_ _| [ ] sum k sum ni 2 sum k sum ni 2 sum k 2 scG = (yij- y..) = |_ (yij- ^yi) _| + ni(^yi.- y..) i |_ =1j=1 i=1j=1 _| i=1 sum k n sum i sum k [k sum ] = |_ (yij - yi.)2 + ni(yi.- ^yi)2 _| + ni(^yi.- y..)2 = i=1 j=1 i=1 i=1 = scR + scE = scR(1) + scR (2) + scE.

En base a esta igualdad se puede construir la siguiente tabla ANOVA, más completa que la anterior,

Tabla ANOVA del modelo de regresión simple

Fuente de

Variación

Suma de

Cuadrados

Grados de

Libertad

Varianzas

Recta

scE = _{i =
1}^kn_i²

_e² =

scR(1)

scR(2)

scR

scR(1) =

_{i =
1}^kn_i

scR(2) = _{i =
1}^k _{j =
1}^n_i²

scR = _{i =
1}^k _{j =
1}^n_i²

k - 2

n - k

n - 2

_R,1² =

_R,2² =

_R² =

Global

_{i =
1}ⁿ

n - 1

_Y² =

A partir de esta tabla ANOVA se puede contrastar la hipótesis de que la función de regresión es lineal frente a la alternativa de que no es lineal, esto es,

H : E (Y/X = x) = a + a x (la funció n es lineal) 0 i 0 1 i

frente a la alternativa

H1 : E (Y/X = x) = m (x) (no es una función lineal)

Si H₀ es cierto, las medias condicionadas estarán próximas a la recta de regresión: _i _i, y la scR(1) = _{i =
1}^kn_i² 0. De nuevo esta medida tiene dimensiones y no es válida para utilizar como medida de discrepancia, para resolver el problema se compara con _R,2² y el cociente de ambas cantidades se utiliza como estadístico del contraste en estudio.

2 ^F = ^sR,1 L ^s2R,2

Bajo la hipótesis de normalidad y H₀ (hipótesis de linealidad) se deduce que _L sigue una distribución F_{k - 2, n -}_k (Contraste de la F).

^s2R,1 ^FL = ^s2--~ Fk-2,n- k bajo H0 R,2

Este contraste de linealidad de la F es unilateral. Si el p-valor = P es grande (mayor que ) se acepta que la curva de regresión es lineal.

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