5.5 Diseño factorial con tres factores.

El modelo de diseño de experimentos con dos factores se puede generalizar a tres o más factores, aunque presenta el gran inconveniente de que para su aplicación es necesario un tamaño muestral muy grande.

El modelo de diseño de experimentos completo con tres factores (Ta, Tb y Tg), interacción y replicación (K réplicas) tiene el siguiente modelo matemático:

yijkr =   m + ai + bj + gr + (ab)ij + (ag)ir + (bg)jr + (abg)ijr + eijrk   (1.34)

                                                           (   2)
          con eijkr son v.a. independientes con distribución N 0,s     A i,j,r,k.

En este modelo se tienen tres factores-tratamineto: el factor Ta (efecto a) con niveles i = 1,...,I, el factor Tb (efecto b) con niveles j = 1,...,J, y el factor Tg (efecto g) con niveles r = 1,...,R. Cada tratamiento se ha replicado K veces. Por tanto se tienen n = IJRK observaciones. El término (abg)ijk es la interacción de tercer orden que, en la mayoría de las situaciones, se suponen nulas.

En este modelo se verifican las siguientes restricciones

       sum  a   =   sum  b  =  sum  g  = 0
       i  i      j   j   r   r

   sum  (ab)    =   sum  (ab)   =  sum  (ag)  =  sum  (ag)  =   sum  (bg)  =  sum  (bg)   = 0
   i     ij      j      ij    i     ir   r     ir    j     jr   r     jr

 sum  (abg)     =   sum  (abg)   =   sum  (abg)   = 0
 i       ijr      j       ijr    r      ijr

El número de parámetros del modelo es



Parámetros Número
m 1
ai I - 1
bj J - 1
gr R - 1
(ab)ij (I - 1) (J - 1)
(ag)ir (I - 1) (R - 1)
(bg)jr (J - 1) (R - 1)
(abg)ijr (I - 1)(J - 1)(R - 1)
s2 1
Total IJR + 1


Los estimadores máximo-verosímiles de este modelo son los siguientes (se utiliza la notación habitual):

De la media global

                  sum I  sum J  sum R K sum 
^m = Y....= ---1--              Yijrk,
          IJ RK  i=1j=1r=1k=1

de los efectos principales,

 

^ai  =  Yi...- Y....,  i = 1,...,I,


^bj  =  Y.j..- Y....,  j = 1,...,J,


^gr  =  Y..r.- Y....,  r = 1,...,R,

de las interacciones de segundo orden

 

(ab)ij  =  Yij..- Yi...- Y.j..+ Y....,  i = 1,...,I,  j = 1,...,J,


(ag)ir  =  Yi.r.- Yi...- Y..r.+ Y....,  i = 1,...,I,  r = 1,...,R,


(bg)jr  =  Y.jr.-  Y.j..-  Y..r.+ Y....,  j = 1,...,J, r = 1,...,R,

de las interacciones de tercer orden

(abg)ijr  =   Yijr.- ^m - ^ai- b^j - ^gr - (ab)ij- (ag)ir- (bg)jr

         =   Yijr.- Yij..- Yi.r.- Y.jr.+  Yi...+ Y.j..+ Y..r.- Y....,
 con   i =   1,...,I,   j = 1,...,J, r = 1,...,R.

La descomposición de la variabilidad se obtiene la siguiente tabla ANOVA (Tabla 5.4.), a partir de la cual se pueden obtener contrastes como en la sección anterior.

 

 

CUADRO DEL ANÁLISIS DE LA VARIANZA

— MODELO COMPLETO DE TRES VÍAS —




Fuente de variación Suma de cuadrados g.l.



Factor Ta scTa = J RK sum i = 1I^ai2 I - 1



Factor Tb scTb = IRK  sum j = 1J^bj2 J - 1



Factor Tg scTg = IJK sum r = 1R^gr2 R - 1



Inter. ab scab = RK  sum i = 1I  sum j = 1Jabij2 (I - 1)(J - 1)



Inter. ag scag = JK  sum i = 1I sum r = 1R agir2 (I - 1)(R - 1)



Inter. bg scbg = IK sum j = 1J sum r = 1Rbgjr2 (J - 1)(R - 1)



Inter. abg scabg = K  sum i = 1I  sum j = 1J sum r = 1Rabgijr2 (I - 1)(J - 1)(R - 1)



Residual scR =  sum i = 1I  sum j = 1J sum r = 1R sum t = 1Keijrk2 IJR(K - 1)



Global scG =  sum i = 1I  sum j = 1J sum r = 1R sum t = 1Keijrk2 IJRK - 1



Tabla 5.4. Cuadro del análisis de la varianza para un diseño completo de tres factores.